普林斯顿大学的理论物理学家亚历山大·波利亚科夫(Alexander Polyakov)在1981年洞悉了量子理论的未来。一系列谜题,从弦的摆动到夸克与质子的结合,都需要一种新的数学工具来揭开。


他在《物理快报b》(Physics Letters b)中写道“科学中有许多方法和公式,它们是解决许多看似不同的问题。目前,我们必须发展一种处理随机曲面求和的艺术。”


波利亚科夫的提议被证明是强有力的。在他的论文中,他概述了一个公式,粗略地描述了如何计算一个非常混乱的表面,即“刘维尔场”。他的工作将物理学家带入了一个新的数学领域,这对于解开被称为弦的理论对象的行为以及建立量子引力的简化模型至关重要。


多年的努力使波利亚科夫为其他物理理论找到了突破性的解决方案,但他从未完全理解刘维尔场背后的数学。


然而,在过去的七年中,一组数学家完成了许多研究人员认为不可能完成的事情。他们用完全严格的数学语言重新定义了波利亚科夫的公式,并证明了刘维尔场完美地模拟了波利亚科夫认为会出现的现象。


这三篇论文在数学和物理之间架起了一座桥梁。这项工作还涉及到一些哲学问题,这些问题涉及在基础物理的主要理论中占据中心地位的对象——量子场。


无限的场


在今天的物理学中,最成功的理论中的主角是场(填充空间的物体),从一个地方到另一个地方具有不同的值。


例如,在经典物理学中,一个单独的场能告诉你力是如何推动物体的。以地球磁场为例:罗盘指针的抖动显示了磁场在地球上每一点的影响(强度和方向)。场也是量子物理学的核心。然而,由于量子理论的随机性,情况更加复杂。从量子的角度来看,地球不是产生一个磁场,而是无限多个不同的磁场。


但是物理学家仍然想做出预测,将量子场的无限形式同化为一个单一的场是“量子场理论”的艰巨任务。这是一个模型,描述了一个或多个量子场,每个量子场都有无限的变化。


在实验的推动下,量子场论已经成为粒子物理的基本理论。标准模型就是其中一种量子场论,它把电子这样的基本粒子描绘成电子场中的模糊凸起。到目前为止,它已经通过了所有的实验测试。


物理学家使用了许多不同的量子场论。一些模型,比如标准模型,模拟真实粒子在宇宙的四个维度中移动。其他量子场论描述了奇异宇宙中的奇异粒子,从二维平面到六维超世界。它们与现实的联系是遥远的,但物理学家们研究它们是希望获得一些洞见,以便将它们带回我们自己的世界。


波利亚科夫的刘维尔场论就是这样一个例子。


物理学上的突破:数学家证明了二维量子引力理论的可行性


引力的能量场


刘维尔场基于19世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔提出的一个复分析方程,它描述了一个完全随机的二维表面,其中每个点的高度都是随机选择的。这样的表面会出现无数的“山峰”,每一个山峰都是通过滚动一个有无数面的骰子来确定的。


这样的一个二维表面可能看起来不像物理的信息模型,但随机性并非没有固定的模式。例如,钟形曲线告诉我们在街上随机经过一个2米高的篮球运动员的可能性有多大。同样,球状云和皱褶的海岸线也遵循随机模式,但仍然有可能分辨出它们的大尺度和小尺度特征之间的一致关系。


刘维尔理论可用于识别无尽图案中所有可能的随机、锯齿状的模式。波利亚科夫意识刘维尔理论对于弦的建模是必不可少的。该理论也被用于描述二维世界中的量子引力。


爱因斯坦将引力定义为时空的曲率,将他的描述转化为量子场论的语言,创造了无限多的时空——就像地球产生无限多的磁场一样。刘维尔理论将所有这些表面打包成一个物体。它为物理学家提供了测量任意二维平面上每个位置的曲率的工具。


量子引力基本上意味着随机几何,因为量子意味着随机,而引力意味着几何。


波利亚科夫探索随机表面世界的第一步是写下一个表达式来定义找到一个特殊的尖状行星的概率,就像钟形曲线定义遇到某个特定高度的人的概率一样。但是他的公式并没有带来有用的数值预测。


量子场论要解决的就是能够利用场来预测观测。在实践中,这意味着计算一个场的“相关函数”,它通过描述场在某一点上的测量与另一点上的测量的关联程度来捕获场的行为。例如,计算光子场中的相关函数可以得出量子电磁学定律。


波利亚科夫追求的是更抽象的东西:随机表面的本质。几十年来,他尝试了两种不同的计算方法。他从一种叫做费曼路径积分的技术开始,最终发展出一种称为自助法(bootstrap method)的变通方法。这两种方法在不同的方面都存在缺陷,直到数学家们将它们结合在一起,形成了一个更精确的公式。


物理学上的突破:数学家证明了二维量子引力理论的可行性


你可能会认为,要解释量子场的无限多种形式几乎是不可能的,确实是这样。20世纪40年代,量子物理学的先驱理查德·费曼开发了一种解决这种令人困惑的情况的方法,但这种方法被证明非常有限。


再以地球磁场为例。我们的目标是用量子场理论来预测当你在一个特定的位置使用罗盘读数时你会观察到什么。为了做到这一点,费曼提出将所有场的形式加起来。他认为读数将代表所有场可能形式的某个平均值。用适当的加权把这些无限场构型加起来的过程称为费曼路径积分。


这是一个绝妙的想法,它只对选定的量子场给出具体的方法。没有一种已知的数学方法可以对覆盖无限广阔空间的无限数量的物体进行有意义的平均。路径积分更像是一种物理哲学,而不是精确的数学公式。数学家们质疑它作为一种有效的运算的存在,物理学家们对它的依赖方式也让他们感到困惑。


物理学家可以利用费曼路径积分来计算自由场的精确相关函数,这些场与其他场甚至本身都不相互作用。他们给自由场增加一些交互或“扰动”。这个过程,被称为微扰理论。


虽然他最初推测刘维尔场可能会接受添加轻微的扰动,但他发现它与自己的相互作用太强烈了。与自由场相比,刘维尔场在数学上似乎不可能,它的相关函数似乎难以实现。


突破,数学家证明了二维量子引力理论的可行性,物理学登上新高峰


自助法


波利亚科夫很快就开始寻找解决办法。1984年,他与亚历山大·贝拉文(Alexander Belavin)和亚历山大·扎莫洛奇科夫(Alexander Zamolodchikov)合作开发了一种称为自助法(bootstrap)的技术,这是一种数学阶梯,可以逐渐得出一个场的相关函数。


为了得到一个场的相关函数,你需要一个函数来表达仅在那个场中三个点的测量值之间的相关性。这个“三点相关函数”,加上一些关于场中粒子可以获得的能量的额外信息,形成了自助阶梯的底部梯级。


然后一次增加一个点:使用三点函数构造四点函数,使用四点函数构造五点函数,以此类推。但是,如果你在第一阶上使用错误的三点相关函数,这个过程会产生矛盾的结果。


波利亚科夫使用自助法成功地解决了各种简单的QFT理论,但是就像费曼路径积分一样,他们不能使它适用于刘维尔场。


然后在20世纪90年代,物理学家找到了使“攀登阶梯”成为可能的三点关联函数,彻底解决了刘维尔场(及其对量子引力的简单描述)。他们的结果,简称为DOZZ公式,让物理学家可以做出任何涉及刘维尔场的预测。


驯服“狂野”的表面


在2010年代早期,数学家和物理学家联手,目标是解决刘维尔场的数学问题,解开DOZZ公式的神秘面纱。


当他们开始研究的时候,他们意识到一个叫让·皮埃尔·卡哈内( Jean-Pierre Kahane)的法国数学家在几十年前发现了波利亚科夫理论的关键。


他们首先去掉了路径积分,因为刘维尔场与自身相互作用强烈,使得它与费曼的微扰理论不相容,所以波利亚科夫失败了。因此,数学家们使用卡哈内的思想将刘维尔场重新定义为一种“温和”的随机物体,即高斯自由场。高斯自由场的峰值不会像刘维尔场的峰值那样极端,这使得数学家能够以合理的方式计算平均值和其他统计测量值。


2014年,他们公布了他们的结果——波利亚科夫在1981年写下的路径积分的改进版本,但完全以可信高斯自由场定义。这是一个罕见的例子,费曼的路径积分哲学找到了一个可靠的数学基础。


有了一个严格定义的路径积分,研究人员然后试图看看他们是否可以用它来得到刘维尔场的方法,并推导出它的相关函数。目标是DOZZ公式——但它和路径积分之间的鸿沟似乎很大。


该团队花了数年时间来研究他们的概率路径积分,确认它确实具有自助法所需的所有特性。最终,瓦格斯(Vargas)、库皮埃宁(Kupiainen)和罗兹(Rhodes)在2017年发表了一篇论文,并在2020年10月与科林·吉勒穆(Colin Guillarmou)发表了另一篇论文,取得了成功。他们从路径积分中导出了DOZZ和其他相关函数,并表明这些公式与物理学家使用自助法得到的方程完全匹配。


这项工作解释了DOZZ公式的起源,并将自助(bootstrap)过程与经过验证的数学对象联系起来。总之,它解开了刘维尔场的最后谜团。


量子场论的新希望


现在,我们有了一个强大的相互作用的量子场论,用一个简单的数学公式完美地描述了一个非扰动的方式,也可以进行数值预测。


最重要的问题是,这些概率方法能走多远?他们能为所有的量子场论生成公式吗?瓦格斯认为他们的工具是针对刘维尔理论的二维环境的。在更高的维度,甚至自由场都太不奏效,所以他怀疑该小组的方法是否能够处理宇宙中引力场的量子行为。


但波利亚科夫“钥匙”将打开其他的大门。它的影响已经在概率论中体现出来了,数学家们现在可以使用以前不可靠的物理公式。


刘维尔场的严格构建可能会激发数学家们尝试证明其他看似难以解决的量子场论的特征——不仅仅是引力理论,而是对真实粒子和力的描述,它们直接影响着现实中最深的物理秘密。

文章来源: 阿力博士,老胡说科学

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