该研究研究了具有中间非线性支承的简支瑞利粘弹性轴向运动梁的非线性振动和稳定性问题。考虑的非线性类型是几何的,是由于轴向拉伸。利用哈密顿原理导出了控制方程和相应的边界条件。将多尺度方法应用于控制方程的无量纲形式,得到了两种轴向速度波动频率情况下系统的非线性频率、时程响应。


通过可解性条件和鲁斯-赫维茨判据研究了系统的稳定性。通过实例研究,证明了转动惯量、轴向速度和中间支座参数对系统响应、临界速度和系统稳定性的影响。此外,还研究了中间支座位置不同时前两个共振频率随平均轴速的变化情况。本文以“Nonlinear Vibration and Stability Analysis of Viscoelastic Rayleigh Beams Axially Moving on a Flexible Intermediate Support”为题于2020年7月22日发布于《Iranian Journal of Science and Technology, Transactions of Mechanical Engineering》杂志上。

稳定、振动小的中间支撑才是好支撑!


研究背景


许多工程结构,如飞机的旋转叶片、高层建筑、飞机机翼、航天器天线等,都可以建模为梁。梁的振动研究由于其在机械系统设计和控制中的应用而受到广泛的关注。在工程系统中,为了抑制由外部激励引起的振动,通常使用附加在主系统上的减震器、弹簧质量系统。


轴向运动梁在动力传送带、输送带、架空电缆轨道、电梯电缆、机器人柔性臂、带锯、输送流体管道等机械系统中有着广泛的应用。由于其广泛的应用以及对精度和稳定性的要求,对轴向移动梁的振动进行了研究。


在大部分的研究中,使用了欧拉-伯努利梁理论。然而,在研究大振幅、高频率梁的横向振动时,不能忽略转动惯量。


因此,通过考虑瑞利光束理论,可以得到一个适合的动力学模型。尽管内阻尼对粘弹性材料的动力特性和广泛应用起着主导作用,但在对轴向运动梁的研究中,大部分工作并未考虑内阻尼。此外,虽然有研究人员考虑等速分析轴向运动梁的动力学,但在大多数应用中轴向速度不是恒定的,可能会在其均值上下波动,从而导致不稳定。因此,可以采用中间支座来抑制大跨度移动梁的振动,提高系统的稳定性。


基于上述观点,该研究研究了带中间非线性支承的随速度轴向运动粘弹性瑞利梁的非线性振动。为此,考虑内部阻尼的凯尔文-沃格特模型,应用汉密尔顿原理,推导出运动控制方程。然后应用多尺度法得到系统的响应。中间支承的轴向移动梁如图所示。

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图为中间支座轴向移动梁的原理图


通过一些数值例子来说明系统参数的变化对振动行为的影响。考虑到EQ中提到的边界条件。

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图中a首先是自然的,b二次固有频率与中间支座线性刚度系数的关系

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图为该研究提出的方法和基于小波的谱有限元法对梁的振动响应进行了分析


增加了中间支座的线性刚度,从而增加了第一和第二固有频率。应该注意的是,对于在节点点位于其中点的第二振型振动的固定梁而言,将支座放置在该点上并不影响第二固有频率。


在较宽的平均轴向速度范围内,研究了中间支承位置对系统失稳的影响。根据这些数字,随着平均轴向速度的增加,固有频率的实部减小,而虚部保持为零。在这个平均轴向速度范围内,所有模态都是稳定的。在第一临界速度下,第一固有频率的实部变为零,其虚部有两个非零值。随着平均轴向速度的增加,第一固有频率的虚部增大,实部保持零。


在这种情况下,第一振型经历发散失稳,即振动振幅静态增大,其余模态保持稳定。随着轴向速度的增加,在特定的轴向速度下,第一振型恢复稳定,第一振型的实部开始增大,直到第一模与第二模合并,使系统经历耦合颤振不稳定。可以看到,通过将中间支座从梁的一端移动到中点,第一模态经历静态不稳定的区域就会缩小。


对于较高的非线性,随着时间的推移,非线性共振频率接近线性固有频率的速度非常快。

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图为a中间支座不同位置的频率响应曲线 b中间支座不同非线性刚度系数的频率响应曲线c中间支座不同刚度系数的频率响应曲线


通过将中间支点从梁的两端移动到中点,分叉点相互移动,从而使平凡解的不稳定区域减小。从图中可以看出,虽然分叉点不受非线性刚度的影响,但随着非线性刚度的增大,曲线向右弯曲的程度增大,随着线性刚度系数的增大,平凡解的不稳定区域减小。


研究结论


该研究研究了带非线性中间支承的瑞利粘弹性轴向运动梁的非线性参数振动和稳定性。对于振幅较大的梁横向振动,转动惯量和轴向速度对系统的振动特性和稳定性有显著影响。而中间支座对增加固有频率、临界速度和减少不稳定区域有显著作用。


因此,在较大的轴向速度范围内,系统将保持稳定。此外,还得到了以下结果:


对于第一模态,当中间支座靠近梁中点时,振动幅值下降得更快。此外,在这种情况下,第一模态经历静态不稳定的区域会缩小。


在轴向速度存在的情况下,模态振型变得不对称。增加轴向速度使模态振型更加不对称。中间支座的刚度系数对模态振型也有相同的影响。


由于内部阻尼,非线性共振频率下降到相应的线性固有频率,随着时间的推移。随着粘滞系数的增大,非线性共振频率迅速向线性固有频率靠拢。此外,通过增加该参数,振幅振动迅速下降。


研究了中间支座对非线性共振频率的影响,结果表明,当中间支座刚度系数较高或将其放置在梁中点附近时,非线性共振频率趋向于相应的线性固有频率较快。


随着无量纲线性粘滞系数的增大,第一非线性固有频率更快地趋向于其对应的线性固有频率,幅值振动衰减较快。无量纲线性粘滞系数对线性固有频率无影响。


在主参数共振中,通过将中间支座定位在更接近梁中点的位置和增加其线性刚度系数,使平凡解的不稳定区域减小。此外,非线性只影响频率响应曲线的曲率。


参考文献:Rana Farshbaf Zinati, Mousa Rezaee & Saeed Lotfan Nonlinear Vibration and Stability Analysis of Viscoelastic Rayleigh Beams Axially Moving on a Flexible Intermediate Support  Iranian Journal of Science and Technology, Transactions of Mechanical Engineering 865–879(2020)



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